2D függvények ábrázolása⁺

A gya­kor­lat során ki­szá­mít­juk és áb­rá­zol­juk egy para­bo­la­ív­ből és egy nye­reg­te­tő­ből össze­tett fe­dé­sű épü­let vég­hom­lok­za­tá­nak kon­túr­vo­na­lát, to­váb­bá meg­ha­tá­roz­zuk a vég­fal és a te­tő csat­la­ko­zá­si vo­na­lá­nak ív­hosszát, és a vég­fal te­rü­le­tét. (E­zen ada­tok­ra pl. az épü­let ki­tű­zé­sé­hez, ill. a költ­ség­ve­tés­ben a sze­gély-bá­do­go­zás és a va­ko­lat mennyi­sé­gé­nek ki­írá­sá­hoz lehet szükség.)

Statikus megoldás: LETÖLTÉS

Dinamikus változat: LETÖLTÉS

A tető és a végfal csatlakozási görbéjét (és ezzel a végfalat) kis szakaszokra osztjuk, az egyes szaka­szokon a görbét húrjával helyet­te­sítjük, és mind a görbe fel­rajzo­lását, mind a terület és ívhossz ­számí­tá­sát ezen köze­lítés alapján végezzük el.

Az f fél fesztávolságot kiindulásul adott n számú egyenlő részre osztjuk (n=10). A görbe felrajzolása úgy történik, hogy x irányban végighaladunk -f-től +f-ig a teljes fesztávolság mentén, és az f/n egységeknél kiszámítjuk az y_p parabola, és y_ny nyeregtető magassági koordinátákat. A keresett felső kontúrgörbe magassági koordinátáját úgy kapjuk, hogy az azonos x értékhez tartozó y_p és y_ny magassági koordináták közül mindig a nagyobbat vesszük.

.

A görbe két általános helyzetű szomszédos osztáspontjának koordinátái legyenek x_i, y_i, illetve x_i+1, y_i+1.

Két szomszédos osztáspont között a görbét húrjával közelítve e húr ∆ív hossza egy olyan derékszögű háromszög átfogójaként adódik, amelynek vízszintes befogója a két x koordináta, függőleges befogója pedig a két y koordináta különbsége:

.

Két szomszédos osztáspont között a görbét húrjával közelítve e húr alatti területet trapéznak tekinthető, s így a szakaszhoz tartozó elemi ∆ter területrész:

.

Ezen elemi ívhosszakat ill. terü­le­te­ket minden szakaszra vonat­kozóan kiszá­mítva és vala­mennyi szakszra nézve össze­gezve a tel­jes ívhossz ill. a teljes terület műszaki szem­pontból kielégítő pon­tos­ságú közelí­tését kapjuk.

 • Számítógépes modell

A számí­tásokat a mellé­kelt ábra szerinti táb­lá­zat­ban való­sít­hat­juk meg.

• A bemenő para­méte­reket írjuk fel az ábrán látható mó­don, majd nevez­zük el az érté­ket tar­tal­mazó cellákat.
• A B oszlopba a csomó­pontok sor­szá­mai kerül­nek –n-től +n-ig. Írjuk be az első két adatot (-10-et és -9-et), majd jelöl­jük ki két cellát együtt, s a ki­je­lö­lés jobb alsó sar­ká­ban lát­ható fekete négy­zetet „húzzuk le” a kívánt (10) értékig. A B osz­lopot nevezzük el i-nek.
• A C oszlopba a szakasz­határ­pontok x koor­di­ná­tái ke­rül­nek, melyeket úgy számít­hatunk ki, hogy az f fél-fesz­távot meg­szo­rozzuk az adott csomó­pont i sor­számá­nak és a csomó­pontok n számá­nak hánya­do­sával (=f*i/10). A C osz­lo­pot nevezzük el x-nek.
• Az y_p, y_ny, és y_k osz­lo­pokba kerülő kép­letek a szo­ká­sos mate­mati­kai alak­ban megadott kép­letek át­írá­sai a táb­lázat­keze­lők­ben alkal­mazott for­má­tum­ban:
  y_p    =h2p*(1-x^2/f^2)+h1p
  y_ny  =h2ny*(1-ABS(x/f))+h1ny
  y_k    =HA(yp>yny; yp; yny)

A hatvá­nyozás jele a ^, amely álta­lában csak akkor jele­nik meg, amikor a hat­vány­kitevőt is be­ír­juk.

• Hason­lítsuk össze azzal, amikor nem defi­ni­álunk para­méter­neve­ket:
  y_p    =$H$3*(1-$C9^2/$C$3^2)+$F$3
  y_ny  =$H$5*(1-ABS($C9/$C$3)+$F$5
  y_k    =MAX($D9:$E9)

Érdemes végig­gon­dol­ni, hol hagy­hatók el a fön­ti (ér­telem­szerűen csak a 9 sorban érvényes!) kép­le­tek­ből a $ szim­bó­lumok.

• Az ívhossz és a terület oszlo­pai­ba kerülő kép­letek az elő­zőekben ∆ív­hosszra és ∆te­rületre mate­ma­ti­kai alak­ban meg­adott kép­letek „for­dí­tá­sai”:
  ívhossz =GYÖK((C10-C9)^2+(F10-F9)^2)
  terület  =(F10+F9)/2*(C10-C9)

• Mivel a közök száma min­dig eggyel kisebb az azokat ha­tá­ro­ló pon­to­ké­nál, a G és H oszlo­pok­ban eggyel ke­ve­sebb elemi ív­hossz és terü­let sze­re­pel­het, mint a­hány koor­di­ná­ta érték van a C és F osz­lopok­ban. Az így üresen maradó G29 és H29 cellák­ban számol­juk ki az ív­hossz és a te­rü­let köze­lítő érté­két a rész­hosszak és terü­letek össze­ge­ként.

Elegendő az AutoSum gombot használni.

Annak érde­kében, hogy ne csak a vég­hom­lok­zat felső határ­gör­béje jelen­jen meg az áb­rán, hanem a tel­jes zárt kon­túr­vonal, egé­szít­sük ki az x és az y_k érté­kek oszlo­pait há­rom pont­tal: a jobb ol­da­li függő­leges határ­vonal, az alap­vonal, és a bal oldali függő­leges oldal­vonal meg­raj­zo­lá­sá­hoz szük­séges ko­or­di­ná­ta-pá­rok­kal ( f,0 -f,0 -f,F9 ).

• Jelöl­jük ki a diag­ram­mal áb­rá­zol­ni kívánt C8:F32 tar­to­mányt, mely az x, y_p, y_ny, és y_k ada­to­kat tar­tal­maz­za.
• A ko­or­di­ná­tá­ik­kal meg­adott alak­za­tok ki­raj­zol­ta­tá­sá­ra vá­lasszuk a Be­szú­rás ⮂ Insert sávmenü­ben a Diag­ra­mok ⮂ Charts cso­port­ból a Pont vona­lak­kal ⮂ Scatter with Straight Lines diagram­típust!
• Mivel az ábra nem arány­helyes, érde­mes az x és y ten­ge­lyek maxi­mum érté­két azo­nosra állí­tani, és a diag­ram ará­nyát négy­ze­tes­re iga­zí­tani.

Az egyszer létre­ho­zott diag­ram továbbra is „élő” kap­cso­lat­ban marad az ere­deti ada­tok­kal, így az azok vál­to­zását azonnal meg­jele­níti. Ennek szem­lél­te­té­sére változ­tas­sunk a be­menő ada­tokon: pl. h1ny érté­két vegyük 8-ra, h2ny-ét pedig -6-ra.

Az ábra egyes ele­meire, pl. egy diag­ram­vo­nalra duplán kat­tint­va (vagy jobb egér­gomb­bal kat­tint­va, és a meg­je­le­nő gyors­menü meg­fe­lelő pont­ját vá­laszt­va), azt külön is for­máz­hat­juk.