3D függvény ábrázolása

Áb­rá­zol­juk egy tég­lalap alap­rajzú „csür­lős” csúcs­íves bol­tozat egy­sze­rű­sít­ett mo­dell­jét!

Egy lehetséges megoldás: LETÖLTÉS

A bolto­zati fe­lü­le­tet azo­nos sugarú fél­göm­bök kö­zös része­ként köze­lít­jük, az ori­gót az egy­sze­rűség kedvé­ért az alap­rajz közép­pontjába fel­véve.

Téglalap alap­rajz felett a csür­lős forma egysze­rűen számol­ható, mivel minden alap­rajzi negyedben annak a gömbnek felü­letét ábrá­zoljuk, mely­nek közép­pontja az átel­lenes negyed­ben talál­ható – így nem is szük­séges vizs­gálni, hogy egy adott pont­ban melyik gömb felü­lete mér­ték­adó.

Az alap­rajz hosszab­bik oldala le­gyen s_x para­méter, olda­lainak ará­nya pe­dig q_yx para­méter – s_y ebből már számol­ható ( $s_y=q_{yx}·s_x$ ).

A fél­gömbök met­sze­te­ként adó­dó hom­lok­ívek ak­kor lesz­nek geo­met­riai érte­lemben hason­lóak, ha a gömb­közép­pon­tok az alap­rajzi át­lóra kerül­nek – így a homlok­ívek suga­rainak arán­ya is q_yx lesz ( $r_y=q_{yx}·r_x$ ).

Még fon­to­sabb, hogy ezál­tal mind­két irány­ban ugyan­azon q_rs para­mé­ter­rel leír­ható a homlok­ív és az oldal­hossz aránya ( $q_{rs}=\frac{r_x}{s_x}=\frac{r_y}{s_y}$ ).

Egy origó közép­pontú gömb r suga­rát ismert­nek felté­te­lezve ki­szá­mítható a felü­let x, y koor­diná­tájú pont­jának z magas­sága ( $z^2=r^2-x^2-y^2$ ).

Ese­tünkben a gömbök suga­ra könnyen ki­számol­ható. Az alap­rajz minden sar­ká­ban igaz, hogy a hom­lok­ív érin­tője ott függő­le­ges. Mivel esze­rint a gömb­felü­let érin­tő­síkja is füg­gő­le­ges, a gömb suga­ra (mely arra merő­leges) nyil­ván víz­szin­tes – vagyis a gömb­közép­pont azo­nos magas­ság­ban van a sarok­ponttal. Emiatt egy adott sarok­pont és a hoz­zá tar­tozó gömb­közép­pont víz­szin­tes tá­vol­sága meg­egyezik a gömb suga­rával ( $r^2={r_x}^2+{r_y}^2$ ).

A fönti képle­tet még annyi­ban mó­do­sí­tani kell, hogy a gömb nem az ori­góban van – de az eltolás távol­sága is­mert: a hom­lok­ív suga­rának és az oldal­hossz felé­nek kü­lönb­sége.

A felü­let adott adott x, y koor­diná­tájú pont­jának z magas­ságá­nak kép­le­te tehát: $z^2=({r_x}^2+{r_y}^2)-{(r_x-\frac{s_x}{2}+\left|x\right|)}^2-{(r_y-\frac{s_y}{2}+\left|y\right|)}^2$

A felület megjelenítésére az Excel meglehetősen korlátozott módon képes. Mivel csak az egyes adatpontokhoz tartozó értékeket ábrázolja, számára közömbös, hogy x és y irányban koordináták, vagy mondjuk városnevek szerepelnek – vagyis a megjelenítés csak akkor lesz korrekt, ha x és y irányban is egyenletes kiosztást alkalmazunk.

Ebből adódik az a másik erős korlát is, hogy minden alaprajzi ponthoz csak egy érték tartozhat – teljes gömb például így nyilván nem is ábrázolható. Ez egyben azt is jelenti, hogy függőleges sík sem jeleníthető meg – a mellékelt ábra avval éri el ezt a hatást, hogy az alap téglalapnál valamivel nagyobb területet ábrázol, és a környező pontok magassága nulla.

Érdemes a felület lehetőségeit póbálgatni a q_yx, és főleg a q_rs arányok változtatásával. (Például q_rs=0,5 esetén függőkupola formát kapunk.)