2D függvények ábrázolása

Egy épülő csarnok keresztmetszete a következő harmadfokú függvénnyel írható le:
$f\mathrm{(\; x\; )}=\frac{h}{4}·\left[2+{\left(1-\frac{2\left|x\right|}{b}\right)}^3+\left(1-\frac{2\left|x\right|}{b}\right)\right]$
ahol b a fél szélesség (12 m), h a gerinc magassága (10 m).

A csarnok hosszúsága l (20 m), az álmennyezetet magassága m (7 m).

Egy lehetséges megoldás: LETÖLTÉS

1. feladat

• Ábrázoljuk a csarnok kereszt­metszetét, kiemelve az álmennyezet alatti részt!

Az ábrá­zolni (és számí­tani) kívánt görbét kisebb szaka­szokra oszt­juk, az egyes szaka­szokon a görbét húr­jával helyet­te­sítjük, és mind a görbe fel­rajzo­lását, mind pedig a terület és ívhossz számí­tá­sát ezen köze­lítés alapján végezzük el.

A b fesz­távol­ságot ki­indul­ásul 2n számú egyen­lő rész­re oszt­juk, hogy minden n érték ese­tén legyen olyan pont, ami a szimmet­ria­ten­gely­re esik. A görbe ábrá­zolá­sakor x irány­ban végig­hala­dunk –b-től +b-ig a teljes fesz­távol­ságon, és minden i lépés­nél kiszá­mítjuk a függvény magas­sági koor­diná­táit.

A valós görbe osztás­pont­jai­nak egye­nes sza­ka­szokkal való össze­köté­sével egy vonal­lánc adódik. Álta­lános helyen, a tet­sző­leges i-edik lépés­nél a vonal­lánc egy elemi szaka­szának víz­szin­tes koor­diná­tái x_i és x_i+1, míg magas­sági koor­diná­tái y_i és y_i+1 lesznek.

Két szom­szédos osztás­pont között a görbét húr­jával köze­lítve e szakasz alatti ∆ter terület­rész trapéz­nak tekint­hető:
$\Delta ter=(x_{i+1}-x_i)·\frac{y_{i+1}+y_i}{2}$

Két szom­szédos osztás­pont között a görbét húrjá­val köze­lítve e szakasz ∆ív hossza egy olyan derék­szögű három­szög át­fogó­jaként adódik, amely­nek víz­szin­tes befo­gója a két x koor­diná­ta, függő­leges befo­gója pedig a két y koor­diná­ta különb­sége:
$\Delta iv=\sqrt{{(x_{i+1}-x_i)}^2+{(y_{i+1}-y_i)}^2}$

Ezen elemi ív­hossza­kat és terü­le­te­ket minden szakasz­ra vonat­kozóan kiszá­mítva, majd vala­mennyi szakasz­ra össze­gezve a tel­jes ívhossz és terület műszaki szem­pontból kielégítő pon­tos­ságú közelí­tését kapjuk.

 • Ívhossz és terület számítása

 • Egyenlet megoldása

Alaposabban megnézve a diagramot látható, hogy némi pontatlanság keletkezik abból, hogy a két függvény metszéspontja nem valamelyik osztáspontnál adódik. A felosztás n értékét növelve ez a pontatlanság természetesen csökkenthető (vagy ha nem akarunk túl sok ponttal dolgozni, az összemetsződés helye újabb iterációval pontosítható), így megkereshető, hogy az f és m közötti magassági különbség x milyen értékénél lesz elegendő pontossággal nulla.

3. feladat

• Ábrázoljuk a csarnok kereszt­metszetét, és az azt érintő [0,0] középpontú félkört!

A félkör sugarát növelve „hozzáér” a függvényhez – pontosabban a függvény azon pontjához, amely legközelebb esik az origóhoz. Ezen érintési pont origótól való távolsága adja a keresett félkör sugarát. Első közelítésben csak a függvény ábrázolásakor használt osztáspontok közül keressük a legközelebbit – később pontosabb megoldást is keresünk.

A harmadfokú görbe esetén x szerint számoltuk az y értékeket egyenletes Δx lépésköz mellett. A félkör esetén ez a megoldás kissé nehézkes és pontatlan lenne, így pontjainak x és y értékekét ρ függvényében számoljuk, az osztáspontokhoz tartozó középponti szöget egyenletesen léptetve. Jelen esetben a 0 és π közötti tartományt kell felosztani 2n részre, minden osztáspontban kiszámítva ρ aktuális értékét, illetve az ahhoz tartozó x és y koordinátákat.

Az origó középpontú félkör paraméteres egyenletrendszere:
$x=r·\cos \rho$
$y=r·\sin \rho$
ahol $0\le \rho \le \pi$

 • Görbe ábrázolása

Pontosabb értéket n növelésével, a Solver segítségével, vagy Visual Basic modullal kaphatunk.

 • Szélsőérték meghatározása Solver segítségével

A függvény tetszőleges pontjának távolságának origótól vett távolsága egyszerűen meghatározható: $d=\sqrt{x^2+y^2}$

A távolság így felírható egy olyan függvényként, ahol y a fenti harmadfokú függvény. Ennek az új függvénynek a minimumértéke az érintő kör sugara. Egy folytonos függvény helyi szélsőértéke (minimuma vagy maximuma) olyan pontban lehet, amelyben a differenciálhányados zérus, vagy nem létezik (például végtelenné válik). Geometriai értelemben a függvény szélsőértéke ott van, ahol a függvény meredeksége (az adott pontban rajzolt érintőjének meredeksége) zérus, illetve azon két pont között, ahol a meredekség előjelet vált.

A Solver egy telepíthető modul, mely iterációval határozza meg a szélsőértéket. Amennyiben már aktiválva van, az Adatok ⮂ Data sávmenüben a Solver ponttal érhetjük el. Ha itt nem szerepel, próbáljuk meg betölteni (lásd Office Súgó)