Fraktál

A fraktáloknak egye­lőre nincs kon­szen­zussal el­fo­gadott teljes­körű mate­matikai defi­níciója – a fel­merült defi­níciók esetén mindig talál­tak olyat, melyet tulaj­donságai alapján frak­tálnak lehet tekinteni, ám e szemp­ontból érdek­telen (pl. az ön­hason­lóság az egyenes ese­tén is tel­je­sül), vagy olyat, amit érdemes lehet tárgyalni, pedig eléggé külön­böző (pl. az itt tár­gyalt abszt­rakt, de­ter­mi­nisz­tikus frak­tálok konst­ruk­ciója nyil­ván sokban eltér a termé­szeti formá­kat után­zó sztoc­hasz­ti­kus frak­tálok­tól, mégis érződik elvi hason­lóság). A sza­ba­tos de­fi­níció hiánya ugyanakkor nyilván nem jelenti azt, hogy a frak­tálok vizs­gá­lata ne vetne fel számos érdekes prob­lémát.

Az illuszt­ráción szereplő alakzat a Koch hópehely, az egyik legelső és talán leg­ismer­tebb olyan fraktál, mely egy­értelmű helyet­tesí­tési szabá­lyok alap­ján, rekur­zív módon gene­rálható.

A kiinduló forma (initiator) egy szabá­lyos sokszög, a helyet­tesítési szabály (generator) pedig az, hogy a sok­szög oldalait elhar­ma­doljuk, majd minden oldal középső har­madát egy szabá­lyos három­szög két másik olda­lával helyet­te­sít­jük. E helyet­tesí­tést rekur­zív módon ismé­telve az oldal­hosszak összege (a sík­idom kerü­lete) minden lépésben 1⅓ mér­tékben növek­szik – azaz elvileg (a végte­lenedik ite­rá­cióban) vég­telen. Mind­eköz­ben terü­lete nyil­ván­valóan véges, hiszen sehol nem lép ki a ki­induló sík­idom köré írt kör terü­le­té­ről.

A fraktálok leírá­sá­nak egy bevett formá­lis nyelve az L-rendszer (Lindenmayer Arisztid után), melynek nyelvtani szabályait iteratív módon kell alkalmazni. E rekur­zív jellegből adódó ön­hason­lóság révén a fraktál­szerű formák könnyen leír­hatók. Ha minden szim­bó­lum­hoz pon­tosan egy ki­menet kap­cso­ló­dik, akkor a rend­szer deter­minisz­tikus, ha több (és minde­gyiket bizo­nyos való­szí­nű­ség­gel vá­laszt­juk ki minden ite­ráció során), akkor sztochasztikus.

A Koch-hó­pehely egysze­rűen leír­ható L-rend­szer­ként egyet­len vál­tozó (f), és két konstans (+, –) segít­ségével. Az f („draw forward”) egy sza­kaszt raj­zol, a + balra for­du­lást (120°), a – jobb­ra for­du­lást (60°) jelent. A ki­induló sza­bá­lyos három­szög leír­ható f+f+f formáb­an, a helyet­tesí­tési sza­bály pedig f → f-f+f-f for­mában (ez a SUBSTITUTE() függvénnyel könnyen megvalósítható). Az első ite­ráció így a követ­kező­képp néz ki: f–f+f–f+f–f+f–f+f–f+f–f. A követ­kező ite­ráció sajnos emberi fogyasz­tásra már kevés­sé al­kal­mas: f–f+f–f–f–f+f–f+f–f+f–f–f–f+f–f+f–f+f–f–f–f+f–f+f–f+f–f–f–f+f–f+f–f+f–f–f–f+f–f+f–f+f–f–f–f+f–f. A rend­szer számunk­ra kényel­metlen tulaj­don­sága az is, hogy rela­tív szö­geket al­kal­maz, azaz a követ­kező szegmens irá­nyát az előző szeg­mens irá­nyá­hoz képest adja meg – ezért egy má­sik rend­szer alkal­mazá­sát java­sol­juk.

A Koch-hópehely esetében az első iteráció (3 oldal 4 szegmensre osztva) leírható a négyes számrendszer első 12 számaként:
00, 01, 02, 03, 10, 11, 12, 13, 20, 21, 22, 23

Érdemes talán megjegyezni, hogy könnyen lehet olyan szabályt kitalálni, amelynél az iterácós lépéseknél adódó szegmensek száma (itn) éppen tíz – ekkor nyilván a rendszám is a tízes számrendszerben lesz (a képen pgn= 4).

• itl= 1/6
• itn= 10
• _itd= 0 | 60 | -60 | 60 | 60 | -60 | -60 | 60 | -60 | 0

Mivel itt a megszokott tízes számrendszert kell használni, talán könnyebb megérteni, mi történik.

• A jobb oldali oszlopban a _g (generáció) értéke mindig 0, így itn^g értéke 1, az eggyel való osztás pedig nyilván nem módosít az értéken, azaz a képlet az aktuális sor _i (sorszám) értékének _itn-nel való osztásának maradékát adja meg – a tízzel való osztás maradéka pedig nyilván a szám utolsó számjegye.
• Innen balra haladva _g értéke minden oszlopban eggyel nő, miáltal itn^g értéke hatványozódik (1, 10, 100) – így tudjuk „levágni” az épp vizsgálni kívánt számjegy alatti helyiértékeket.